Geometria plana

Geometria plana I -



Geometria plana II - Relações angulares em triângulos



Textos osbre geometria plana

Geometria Plana
  1. Geometria Plana do ponto de vista elementar. As principais figuras planas são apresentadas e existe um forte apelo visual.

Geometria Plana: Elementos de geometria plana
Introdução
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

Algumas definições
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.
PolígonoNo. de ladosPolígonoNo. de lados
Triângulo3Quadrilátero4
Pentágono5Hexágono6
Heptágono7Octógono8
Eneágono9Decágono10
Undecágono11Dodecágono12
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
  1. Os lados opostos são congruentes;
  2. Os ângulos opostos são congruentes;
  3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
  4. As diagonais cortam-se ao meio.
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.


  1. Triângulo difícil. Deve-se realizar várias operações algébricas envolvendo equações do segundo grau. Apresentamos outra forma para obter a área de um triângulo. Apresentamos um problema simples que costuma deixar muita gente "quebrando a cabeça".

Geometria Plana: Um triângulo equilátero
Problema: Construir um triângulo equilátero ABC no plano cartesiano sabendo-se que existe um ponto P que está distante 7 unidades de A, 6 unidades de B e 8 unidades de C e ao final obter a sua área.
Solução: Embora a solução esteja apresentada na sequência, sugiro que o visitante interessado neste problema, tente resolvê-lo sem ver os procedimentos apresentados aqui pois, este é um problema simples na sua proposição mas envolve muita matemática para a sua resolução.
Vamos supor que exista um triângulo equilátero com lado de comprimento igual a u unidades. Podemos construir este triângulo com os vértices nos pontos A=(0,0), B=(u,0) e C=(u/2,u.R[3]/2) do plano cartesiano. Aqui R[z] significa a raiz quadrada de z>0.
Pela informação do problema, existe um ponto P=(v,w) localizado a distâncias 7, 6 e 8 unidades, respectivamente dos vértices A, B e C do triângulo.
Em função da fórmula da distância entre dois pontos no plano, podemos escrever:
(Eq1) v² + w² = 49
(Eq2) (v-u)² + w² = 36
(Eq3) (v-u/2)² + (w-u.R[3]/2)² = 64
Subtraindo membro a membro as equações Eq1 e Eq2, obtemos o valor de v em função de u:
v = (u + 13/u)/2

Ao substituir este valor v na Eq2, obteremos duas respostas para w:
w' = R[170-169/u²-u²]/2
w" = -R[170-169/u²-u²]/2

Substituindo agora v e w na Eq3, obteremos uma equação biquadrada na variável u:
u4 -149 u² + 589 = 0

Tomando u²=x, obteremos uma equação do 2o. grau:
x² -149 x + 589 = 0

Resolvendo esta equação e voltando às variáveis originais u, obtemos quatro respostas:
u1=12.0389427, u2=-12.0389427,
u3 = 2.01590146, u4=-2.01590146
Em princípio, eu esperava obter apenas uma solução com u positivo!
Para cada resposta obtida para u, obtemos valores correspondentes para v e para w, assim temos quatro respostas:
[u1,v1,w1]=[ 12.03894270, 6.559385873,2.444270233]
[u2,v2,w2]=[-12.03894270,-6.559385873,2.444270230]
[u3,v3,w3]=[  2.01590146, 4.232314683,5.575617670]
[u4,v4,w4]=[ -2.01590146,-4.232314683,5.575617670]
Com um pouco de cuidado e muito cálculo, observamos que [u1,v1,w1] e [u4,v4,w4] satisfazem ao problema, mas [u2,v2,w2] e [u3,v3,w3] não satisfazem ( estas são denominadas soluções estranhas ao problema).
Podemos agora construir os dois primeiros triângulos para esta situação:
Triângulo 1: (primeiro quadrante)
A=(0,0), B=(12.0389427,0), C=(6.01947135,18.05841405),
P=(6.559385873,2.444270233)
Triângulo 2: (segundo quadrante)
A=(0,0), B=(-2.01590146,0), C=(-1.007950073,1.745821876)
P=(-4.232314683,5.57561767)
Usando um pouco a imaginação, é possível observar que existem também dois outros triângulos simétricos em relação ao eixo horizontal com as mesmas propriedades. A única diferença é que as coordenadas de w devem mudar de sinal.
Triângulo 3: (Terceiro quadrante)
A=(0,0), B=(-2.01590146,0), C=(-1.0079501,-1.7458219)
P=(-4.2323147,-5.5756177)
Triângulo 4: (quarto quadrante)
A=(0,0), B=(12.0389427,0), C=(6.01947135,-18.05841405)
P=(6.559385873,-2.444270233)
Em qualquer das 4 situações, a área do triângulo é dada pela fórmula Área = a.b.sen(U)/2, onde U é o ângulo formado pelos lados de medidas a e b.
Assim, a área do triângulo de área maior será
A(maior) = 62.75919017
e a área do triângulo de área menor será
A(menor) = 1,759702435.

Passatempo: Para você aprender um pouco mais de Geometria, observe o desenho ao lado e calcule o valor de h, apenas com as informações contidas no desenho.
O dobro da medida h corresponde à média harmônica entre os números 8 e 10, assim, você tem uma representação geométrica para a média harmônica entre dois segmentos!

  1. Triângulo especial que tem aparecido em alguns vestibulares. Para obter o ângulo procurado deve-se realizar muitas operações algébricas e tem-se a impressão de estarmos calculando o ângulo de uma forma cíclica sem a possibilidade de obter a resposta desejada. A solução faz uso forte da lei dos senos para um triângulo.
Geometria Plana: Ângulos em um triângulo Isósceles
Problema: Dado o triângulo isósceles com base horizontal CF, de modo que o ângulo oposto ao segmento CF tenha A=20 graus. A partir de C trace um segmento de reta que forma um ângulo de 60 graus com o segmento CF até encontrar o lado oposto ao ângulo C no ponto D. A partir de F trace um outro segmento de reta que forma um ângulo de 50 graus com o segmento CF até tocar o lado oposto ao ângulo F no ponto B. Ligue os pontos B e D. Qual é a medida do ângulo y correspondente ao ângulo ABD? Observação: Todos os detalhes desta construção podem ser vistas no desenho, em anexo.
Solução: Apresentamos uma solução não trivial do Prof. Matias (Dep. de Matemática da Universidade Est.de Londrina-PR) para o problema de encontrar um certo ângulo num triângulo isósceles, a partir de algumas informações dadas. Esta solução é construtiva e objetiva demonstrar que os triângulos ABD e CBE (sombreados em amarelo no desenho) são semelhantes. Tal fato seguirá em virtude de ambos possuírem ângulos de 20 graus e os dois lados que formam tais ângulos serem proporcionais.
Usaremos a notação mais simples sen(WZ) para o seno de WZ graus.

Procedimento:
  1. Tome p=m(AC) e b=m(CF), onde m(XY) é a medida do segmento XY.
  2. Fazendo uso da Lei dos senos sobre o triângulo ACD, temos:
    AD

    sen(20)
    =AC

    sen(140)
    =P

    sen(140)
    Como sen(140)=sen(40)=2sen(20)cos(20), então:
    CE=b sen(50)

    sen(70)
  3. e o segmento AD pode ser escrito em função de p como:
    AD=p

    2 cos(20)
    =p

    2 sen(70)
  4. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo ABF, obtemos:
    AB

    sen(30)
    =p

    sen(130)
  5. Como sen(130)=sen(50) e sen(30)=1/2, o segmento AB pode ser escrito em função de p como:
    AB=p

    2 sen(50)
  6. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo BCE, obtemos:
    CE

    sen(50)
    =BC

    sen(110)
  7. Como os ângulos CBF e CFB têm medidas iguais a 50, o triângulo BCF é isósceles, assim m(BC)=b.
  8. Como sen(110)=sen(70), segue que:
    CE

    sen(50)
    =b

    sen(70)
  9. Dessa forma, podemos escrever a medida do segmento CE em função de b como:
    CE=b sen(50)

    sen(70)
  10. Observamos que:
    AD=p

    2 sen(70)
    e AB=p

    2 sen(50)
  11. Com a divisão de AD por AB obtemos o mesmo valor numérico que a divisão de CE por b, o que significa que:
    AD

    AB
    =CE

    b
    =CE

    BC
  12. A última proporção garante que os segmentos AD e AB são proporcionais aos segmentos CE e BC, pois formam o ângulo de BAD de 20 graus no triângulo BAD e o ângulo BCE de 20 no triângulo BCE, garantindo que os triângulos ABD e CBE são semelhantes. Como m(CBE)=50 e m(ABD)=y e como os ângulos CBE e ABD são congruentes, segue que y=50 graus. Logo, o ângulo ADB mede 110 e o ângulo BDC mede 30, o que garante que o ângulo BDF mede 70 graus.
  13. O resto é fácil!

Comentário: Talvez existam outras soluções mais simples para este problema, mas esta é muito bonita. Caso conheça outra forma para a resolução do problema, você poderá enviar-me que eu publicarei em minha Home Page, dando o crédito ao "resolvedor".


  1. Aplicações da circunferência. Circunferência. Círculo. Pontos interiores e exteriores a uma circunferência. Raio, corda e diâmetro. Posições relativas de: retas e circunferência, de secantes e tangentes a uma circunferência, de duas circunferências, de segmentos tangentes a circunferências. Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência. Arco de circunferência e ângulo central. Propriedades de arcos e cordas. Ângulo inscrito, semi-inscrito e arco capaz. Outras propriedades com cordas e segmentos.


Geometria Plana: Círculo, Circunferência e Arcos

A importância da circunferência
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Circunferência e Círculo
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.

Raio, corda e diâmetro
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.

Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.

Observações:
  1. Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.
  2. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.

Propriedades das secantes e tangentes
  1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.
  2. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.
  3. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.
  4. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Posições relativas de duas circunferências
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.
Tangente comum internaTangente comum externa

Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.
Circunf. tangentes externasCircunf. tangentes internas

As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.

Polígonos circunscritos
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.
Quadrilátero circunscritoTriângulo circunscrito

Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.

Arco de circunferência e ângulo central
Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP=OQ=OR=... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.

Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.

Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.

Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.

Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.

Observações: Em uma circunferência dada, temos que:
  1. A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).
  2. A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.
  3. Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.
  4. Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).
  5. Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).
    Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.

Propriedades de arcos e cordas
Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

Observações
  1. Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.
  2. Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.
  3. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (Situação 1).
  4. Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (Situação 2).
  5. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (Situação 3).
Situação 1Situação 2Situação 3

Polígonos inscritos na circunferência
Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono.

Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é 360 graus.
 + Π= 180 graus
Ê + Ô = 180 graus
 + Ê + Î + Ô = 360 graus

Ângulos inscritos
Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.
Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é:
m = n/2 = (1/2) m(AB)

Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.

Ângulo semi-inscrito e arco capaz
Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.
Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco AXB.

Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz.

Construção do arco capaz com régua e compasso:
  1. Traçar um segmento de reta AB;
  2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando com o segmento AB um ângulo congruente a k (mesma medida que o ângulo k);
  3. Traçar uma reta p perpendicular à reta t passando pelo ponto A;
  4. Determinar o ponto médio M do segmento AB;
  5. Traçar a reta mediatriz m ao segmento AB;
  6. Obter o ponto O que é a interseção entre a reta p e a mediatriz m.
  7. Com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçar o arco de circunferência localizado acima do segmento AB.
  8. O arco que aparece em vermelho no gráfico ao lado é o arco capaz.
Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando pelos pontos A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. Na figura abaixo à esquerda, os ângulos que passam por A e B e têm vértices em V1, V2, V3, ..., são todos congruentes (a mesma medida).
Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o dobro da medida de n, isto é:
m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)

Outras propriedades com cordas e segmentos
Agora apresentaremos alguns resultados que fazem a conexão entre segmentos e cordas, que não são evidentes à primeira vista. Se a reta AB é tangente à circunferência no ponto B então o segmento AB é o segmento tangente de A até a circunferência. Se a reta RT é uma reta secante que intercepta a circunferência em S e T e R é um ponto exterior a circunferência, então RT é um segmento secante e RS é a parte externa do segmento secante.
Na sequência, usaremos a notação (PZ) para representar a medida do segmento PZ, em função das dificuldades que a linguagem HTML proporciona para a apresentação de materiais de Matemática.

Cordas interceptando dentro da circunferência: Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P dentro da circunferência, então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda.

(AP).(PB) = (CP).(PD)

Potência de ponto (1): A partir de um ponto fixo P dentro de uma circunferência, tem-se que (PA).(PB) é constante qualquer que seja a corda AB passando por este ponto P. Este produto (PA).(PB) é denominado a potência do ponto P em relação a esta circunferência.
Secantes interceptando fora da circunferência: Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunferência que se interceptam em um ponto P localizado fora da circunferência.
Se uma das retas passa pelos pontos A e B e a outra reta passa pelos pontos C e D da circunferência, então o produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB é igual ao produto da medida do segmento secante PC pela medida da sua parte exterior PD.
(PA).(PB)=(PC).(PD)

Potência de ponto (2): Se P é um ponto fixo fora da circunferência, o produto (PA).(PB) é constante qualquer que seja a reta secante à circunferência passando por P. Este produto (PA).(PB) é também denominado a potência do ponto P em relação à circunferência.
Secante e tangente interceptando fora da circunferência: Se uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P fora da circunferência, a reta secante passando pelos pontos A e B e a reta tangente passando pelo ponto T de tangência à circunferência, então o quadrado da medida do segmento tangente PT é igual ao produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB.
(PT)2 = (PA).(PB)

Exemplo: Consideremos a figura ao lado com as cordas AB e CD tendo interseção no ponto P, com (AP) = 5cm, (PB) = 8cm, (CD) = 14cm. Iremos obter a medida do segmento PD. Tomaremos (PD)=x, para podermos escrever que (CP) = 14-x e somente utilizaremos a unidade de medida no final. Desse modo, (PD).(PC)=(PA).(PB) e podemos escrever que x(14-x)=5×8, de onde segue que x²-14x+40=0. Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos: x=4 ou x=10, o que significa que se uma das partes do segmento medir 4cm, a outra medirá 10cm. Pela figura anexada, observamos que o segmento PD é maior que o segmento PC e concluímos que (PD)=10cm e (PC)=4cm.


  1. O Triângulo e uma região triangular. O conceito de região poligonal. Unidade de área. Cálculo da área do: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, losango, trapézio. Áreas de triângulos semelhantes. Polígonos regulares e seus elementos. Áreas de polígonos regulares. Áreas de polígonos semelhantes.


Geometria Plana: Áreas de regiões poligonais

Triângulo e região triangular
No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.
Triângulo ABCRegião triangular ABC
Somente as linhasAs linhas e todo o interior

Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não sobrepostas.

O conceito de região poligonal
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras
Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:
  1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.
  2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.
  3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.
Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:
  1. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região.
  2. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar de expressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU.
Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.
Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.
Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

Unidade de área
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.
unidade quadrada
Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.


Área do Retângulo
A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.
O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.
A = b × h

Área do quadrado
Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.
Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
A = x²
Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades.
A = b×h
A = (8u)x(5u) = 40u²
No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...

Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
  1. Transformando as medidas em metros
    Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:
    A = b×h
    A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²
    
  2. Transformando as medidas em centímetros
    Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:
    A = b×h
    A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²
    

Área do Paralelogramo
Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.
No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.
A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h.Demonstração da fórmula

Área do Triângulo
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2. Demonstração da fórmula

Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.
Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:
A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²

Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.

Comparação de áreas entre triângulos semelhantes
Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.

Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
Área de ABC

Área de RST
=

=

=


Área do losango
O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.
A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. Demonstração da fórmula

Área do trapézio
Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.
A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.

Polígonos regulares
Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular.

Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.
Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono.

Elementos de um polígono regular
  1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.
  2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.
  3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.
  4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono.
    Apótema: OM,
    Raios: OA,OF
    Ângulo central: AOF
    Apótema: OX,
    Raios: OR,OT
    Ângulo central: ROT
  5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus.

Áreas de polígonos regulares
Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes.
Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:
A = a × Perímetro / 2

Comparando áreas entre polígonos semelhantes
Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.
Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n lados.

Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.
Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.

Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
Área de ABCDE...

Área de A'B'C'D'E'...
=

(s')²
=

(t')²



  1. O círculo como limite de regiões poligonais regulares. Perímetro e Área do Círculo. Arcos. Setor circular. Segmento circular. Curiosidades sobre o número Pi.


Geometria Plana: Áreas de regiões circulares

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares
Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.
Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que també aumenta:
  1. O apótema, aproximando-se do raio do cículo como um limite.
  2. O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite.
  3. A área, aproximando-se da área do círculo como um limite.
Neste trabalho não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.
A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.
O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.

Perímetro do círculo e da circunferência
Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente.

Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

Relações associadas ao perímetro
  1. Com base nestas duas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência:
    A razão entre o perímetro e o diâmetro
    de uma circunferência é uma constante
  2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.
    A1

    A2
    =D1

    D2
    =r1

    r2
  3. Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada Pi, denotada pela letra grega que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é:
    = 3,1415926536....

Área do círculo
Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo são:
Área = r² = ¼
Proporção com áreas: Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.
A1

A2
=(D1)²

(D2)²
=(r1)²

(r2)²

Arcos
O comprimento de um arco genérico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco AB contendo vários pontos A=Po, P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn=B, formando n pequenos arcos e também n pequenos segmentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP1, P1P2, ..., Pn-1B.
A idéia aqui é tomar um número n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.
O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente.
Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus=2radianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincidirá com o comprimento do arco da mesma e é dado por:
Perímetro da circunferência = 2r
Comprimento do arco: Seja um arco AB em uma circunferência de raio r e m a medida do ângulo correspondente, sendo m tomado em graus ou em radianos. O comprimento do arco pode ser obtido (em radianos) por:
Comprimento do arco AB = r m/180 = r m
Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:
360 graus ……… 2 Pi r
m   graus ……… Comprimento de AB
logo
comprimento do arco AB = m r / 180
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:
2 Pi rad ……… 2 Pi r
m    rad ……… comprimento de AB
assim
Comprimento do arco AB = r m radianos

Setor circular
Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.
Usando a figura acima, podemos extrair algumas informações:
  1. OACB é um setor circular
  2. OADB é um setor circular
  3. r é o raio de cada um dos setores
  4. ACB é o arco do setor OACB
  5. ADB é o arco do setor OADB.
  6. Tomando m como a medida do arco ACB (em graus ou radianos), a área do setor circular OACB será dada por:
Área do setor circular OACB = r² m/360 = ½ m r²
Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:
360 graus ……… Área do círculo
m   graus ……… Área do setor OACB
logo
Área(setor OACB) = Pi r² m / 360
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:
2 Pi rad ……… Área do círculo
m    rad ……… Área setor OACB
assim
Área(setor OACB) = ½ m r² radianos

Segmento circular
Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura abaixo, existem dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.
A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB.
Área(segmento) = Área(setor OACB) - Área(triângulo AOB)
A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.

Curiosidades sobre o número Pi
  1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem:
    "Fez também o mar de fundição; era redondo
    e media dez côvados duma borda à outra, cinco
    côvados de altura e trinta de circunferência."
    
    sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.
  2. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.
  3. O símbolo pi usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII.
  4. O valor de correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.
  5. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento Pi através de régua e compasso.
  6. O número exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.
  7. Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de com mais de cem mil dígitos decimais.
Detalhes sobre o cálculo de Pi: De modo análogo ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.
Perímetro polígono inscrito

2r
< <Perímetro polígono circunscrito

2r

Tais relações estão na tabela com dados sobre o polígono regular dado:
Número de lados
do polígono
Perímetro do polígono
inscrito dividido por 2r
Perímetro do polígono
circunscrito dividido por 2r
63,000003,46411
123,105823,21540
243,132623,15967
483,139353,14609
963,141033,14272
1923,141453,14188
2563,141513,14175
5123,141573,14163
10243,141593,14160
Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.

Outra forma (lenta) para obter o número Pi, é:
A forma mais rápida que conhecemos para obter Pi, é:
obtida em The miraculous Bailey-Borwein-Plouffe Pi Algorithm.



  1. Exercícios Resolvidos sobre Áreas de regiões poligonais.
  2. Exercícios Resolvidos sobre Áreas de regiões circulares.
  3. Geometria Analítica plana, iniciando com as coordenadas no plano e dando ênfase no estudo das equações da reta. Também são estudadas as curvas cônicas nas suas formas padrões.


Geometria Plana: Geometria Analítica Plana

Eixos Coordenados
Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.
Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas e tal sistema possui quatro regiões denominadas quadrantes.
Segundo quadrantePrimeiro quadrante
Terceiro quadranteQuarto quadrante
Quadrantesinal de xsinal de yPonto
não temnão tem(0,0)
Primeiro++(2,4)
Segundo-+(-4,2)
Terceiro--(-3,-7)
Quarto+-(7,-2)

Distância entre dois pontos do plano cartesiano
Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto é, a2=b2+c2.
Dados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a distância entre P e Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras.
O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro cateto, logo:
[d(P,Q)]2 = [d(P,R)]2 + [d(Q,R)]2
Como:
[d(P,R)]2 = | x1 - x2| 2 = (x1 - x2)2
e
[d(Q,R)] 2 = | y1 - y2| 2 = (y1 - y2)2
então

Exemplos: A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é
A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) é dada por:

Ponto médio de um segmento
Aplicação: Dados os pares ordenados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), pode-se obter o Ponto Médio M=(xm,ym) que está localizado entre P e Q.
O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.
xm = (x1 + x2)/2, ym = (y1 + y2)/2

Observação: O centro de gravidade de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são A=(x1,y1), B=(x2,y2) e C=(x3,y3), é:
G=((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 )

Retas no plano cartesiano
Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.

Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1diferentex2, o coeficiente angular k da reta que passa por estes pontos é o número real

Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.
Se o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, o sinal do coeficiente angular é negativo.

Declividade de uma reta: A declividade indica o grau de inclinação de uma reta. O fato do coeficiente angular ser maior que outro indica que a reta associada a este coeficiente cresce mais rapidamente que a outra reta. Se um coeficiente angular é negativo e o módulo deste é maior que o módulo de outro coeficiente, temos que a reta associada ao mesmo decresce mais rapidamente que a outra.
Se o coeficiente angular é nulo, a reta é horizontal.

Coeficiente linear de uma reta: é a ordenada (altura) w do ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.

Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX.
Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y=b, ordenada do ponto onde está reta corta o eixo OY.

Equação reduzida da reta
Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por:
y = k x + w

Exemplos
  1. Se k=5 e w=-4, então a reta é dada por y=5x-4.
  2. Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y=x.
  3. Se k=0 e w=5, temos a reta y=5.

Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado: Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo) e tem coeficiente angular k, é dada por:
y - yo = k (x - xo)

Exemplos
  1. Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular k=8, então a equação da reta é y=8(x-1)+5.
  2. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente angular k= -1, então a sua equação é dada por: y=-x.

Reta que passa por dois pontos: Se dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) não estão alinhados verticalmente, podemos obter a equação da reta que passa por estes pontos com:

Retas paralelas e perpendiculares
Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.

Exemplos
  1. x=3 e x=7 são retas paralelas.
  2. As retas y=34 e y=0 são paralelas.
  3. As retas y=2x+5 e y=2x-7 são paralelas.
Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1.

Exemplos
  1. As retas y=x+3 e y=-x+12 são perpendiculares, pois k'=1, k"=-1 e k'k"=-1.
  2. As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois k'=5, k"=-1/5 e k'k"=-1.

Equação geral da reta
Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua equação geral:
a x + b y + c = 0

Exemplos
  1. Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta -x+y-1=0.
  2. Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y=0.
  3. Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x+5=0.

Distância de um ponto a uma reta no plano
Seja um ponto P=(xo,yo) e uma reta r no plano definida por ax+by+c=0.
A distância d=d(P,r) do ponto P à reta r pode ser obtida pela fórmula abaixo:

Exemplo: A distância de (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:

Área de um triângulo no plano cartesiano
Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e (x3,y3), pode-se calcular a área do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre (x2,y2) e (x3,y3) e a altura do triângulo que é a distância de (x1,y1) à reta que contém os outros dois pontos.
Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de memorizar.
A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expressão:

Exemplo: A área do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois:

Colinearidade de 3 pontos no plano: Três pontos no plano, (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares se pertencem à mesma reta.
Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo.

Exemplo: Os pontos (2,0), (1,1) e (0,2) são colineares pois:

Circunferências no plano
Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) de um plano e tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) deste plano que estão localizados à mesma distância r do centro (a,b).
A equação desta circunferência é dada por:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Disco circular é a região que contém a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência.

Exemplo: A equação da circunferência com centro em (2,3) e raio igual a 8 é:
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 82
A equação da circunferência com centro na origem (0,0) e raio r, recebe o nome de forma canônica da circunferência e é dada por:
x2 + y2 = r2

Equação geral da circunferência: Dada a equação (x-a)2+(y-b)2=r2, podemos desenvolver a mesma para obter a forma geral da circunferência:
x2 + y2 + A x + B y + C = 0

Exemplo: A equação geral da circunferência com centro em (2,3) e raio r=8 é:
x2 + y2 - 4x - 6y - 51 = 0

Equação da circunferência com centro em um ponto e passando em outro: Dado o centro O=(a,b) da circunferência e um outro ponto Q=(xo,yo) que pertence à circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da circunferência para se obter a sua equação.

Exemplo: A circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) tem raio tal que:
r2 = (8-3)2 + (16-5)2 = 25+121 = 146
logo, a sua equação é dada por:
(x-3)2 + (y-5)2 = 146

Equação da circunferência que passa por 3 pontos: Quando conhecemos três pontos da circunferência, podemos utilizar a equação geral da circunferência para obter os coeficientes A, B e C através de um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas.

Exemplo: Seja uma circunferência que passa pelos pontos (2,1), (1,4) e (-3,2). Dessa forma, utilizando a equação geral da circunferência:
x2 + y2 + A x + B y + C = 0
substituiremos estes pares ordenados para obter o sistema:
(-2)2 + (1)2 + A(-2) + B(1) + C = 0
( 1)2 + (4)2 + A( 1) + B(4) + C = 0
(-3)2 + (2)2 + A(-3) + B(2) + C = 0
que pode ser simplificado na forma:
-2 A + 1 B + 1 C = -5
1 A + 4 B + 1 C = 5
-3 A + 2 B + 1 C = 13
e através da Regra de Cramer, podemos obter:
A = , B = , C =
assim a equação geral desta circunferência é:
x2 + y2 + ( )x + ( )y + ( ) = 0

Relações importantes no plano cartesiano
Uma relação em um plano é qualquer subconjunto deste plano, mas as mais importantes relações, do ponto de vista prático, são as que podem ser representadas por linhas, como: retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles.
Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem regiões planas com as próprias regiões. Iremos colorir algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contém, que são as relações matemáticas.

Circunferência e Elipse

Parábola e Hipérbole

Seções cônicas
Todas as curvas apresentadas anteriormente podem ser obtidas através de seções (cortes planos) de um cone circular reto com duas folhas como aquele apresentado abaixo. Tais curvas aparecem como a interseção do cone com um plano apropriado.
Se o plano for :
  1. horizontal e passar pelo vértice do cone, teremos apenas um ponto.
  2. vertical e passar pelo vértice do cone, teremos duas retas concorrentes.
  3. horizontal e passar fora do vértice, teremos uma circunferência.
  4. tangente ao cone, teremos uma reta.
  5. vertical e passar fora do vértice, teremos uma hipérbole.
  6. paralelo à linha geratriz do cone, teremos uma parábola.
  7. inclinado, teremos uma elipse.

Equações de algumas seções cônicas
Nome              Equação
--------------    -------------
Ponto             x²+y²=0
Reta              y=kx+w
Parábola          y=ax²+bx+c
Circunferência    x²+y²=r²
Elipse            x²/a²+y²/b²=1
Hipérbole         x²/a²-y²/b²=1
Duas retas        x²/a²-y²/b²=0
  1. Demonstração da Fórmula de Heron. Exercício resolvido. Programa on-line para calcular áreas de regiões triangulares, conhecidos os três lados.





  1. Vetores no plano Euclidiano e suas propriedades. O Plano cartesiano como um Espaço Vetorial bidimensional. Interpretação geométrica do produto escalar e suas principais propriedades.

Geometria Plana: Vetores no plano cartesiano

Definição de vetor
Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade).
  1. A direção é a da reta que contém o segmento.
  2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.
  3. O módulo é o comprimento do segmento.
Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem.

Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é dado por v=(6,10), pois:
v = (7,12)-(1,2) = (6,10)
Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta (representante) desta família que tem as mesmas características.
Vetor no plano
O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a origem está em (0,0) e a extremidade em (a,b) no plano cartesiano e que será denotado por
v = (a,b)

Soma de vetores e suas propriedades
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da soma de vetores
  1. Fecho:Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R².
  2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²:
    v + w = w + v
  3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²:
    u + (v + w) = (u + v) + w
  4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem:
    Ø + u = u
  5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que:
    v + (-v) = Ø

Aplicações geométricas
Ponto médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ) e v2=(x2 ,y2 ), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y) onde
x=(x1 + x2 )/2 e y=(y1 + y2 )/2

Centro de gravidade de um triângulo: Tomemos os vértices de um triângulo como as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ), v2=(x2 ,y2 ) e v3=(x3 ,y3 ). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y) onde
x=(x1 + x2 + x3 )/3 e y=(y1 + y2 + y3 )/3

Diferença de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:
v-w = (a-c,b-d)

Produto por escalar e suas propriedades
Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, por:
k.v = (ka,kb)

Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores:
  1. 1 v = v
  2. (ab) v = a (b v) = b (a v)
  3. Se a v = b v e v é um vetor não nulo, então a = b.
  4. a (v + w) = a v + a w
  5. (a + b) v = a v + b v
Exercício: Dados os vetores v=(3,4) e w=(8,12), construa no plano cartesiano os vetores: v, w, -v, -w, v+w e v-w.

Módulo de um vetor e suas propriedades
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Modulo de vetor

Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual a 1.

Exercício: Mostrar que para todo t real, o vetor v=(cos(t),sen(t)) é unitário.

Observações
  1. Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por:
    i=(1,0) e j=(0,1)
  2. Para obter um versor de v, que é um vetor unitário u com a mesma direção e sentido que o vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de v, isto é:
    Vetor unitário
  3. Para obter um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar w=kv onde k é um escalar não nulo. Nesse caso, w e v serão paralelos.
    1. Se k=0 então w será o vetor nulo.
    2. Se 0<k<1 então |w|<|v|.
    3. Se k>1 então |w|>|v|.
    4. Se k<0 então w tem sentido oposto ao de v.
  4. Todo vetor v=(a,b) do plano cartesiano possui uma projeção horizontal (sobre o eixo OX) que é o vetor a i e uma projeção vertical b j (sobre o eixo OY) e o vetor v pode ser escrito como a soma destas projeções:
    v = a i + b j
Exercício: Qual é a projeção vertical do vetor v=(3,4)? Qual é o módulo deste vetor? Esboce um gráfico desta situação no plano R².

Produto escalar
Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por:
v.w = a.c + b.d

Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) é dado por:
v.w = 2.(-7) + 5.(12) = 56
O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é:
v.w = 2.(-5) + 5.(2) = 0

Exercício: Faça um gráfico em R², com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.

Propriedades do produto escalar: Quaisquer que sejam os vetores, u, v e w e k escalar:
  1. v.w = w.v
  2. v.v = |v| |v| = |v|²
  3. u.(v+w) = u.v + u.w
  4. (kv).w = v.(kw) = k(v.w)
  5. |kv| = |k||v|
  6. |u.v|<|u||v| (desigualdade de Schwarz)
  7. |u+v|<|u|+|v| (desigualdade triangular)

Ângulo entre dois vetores
Outra forma de escrever o produto escalar entre os vetores v e w é v.w=|v||w|cos(q) onde q é o ângulo formado entre v e w.
Ângulo entre vetores
Com ela, podemos obter o ângulo q entre dois vetores quaisquer v e w, pois:
Angulo entre vetores
desde que nenhum dos vetores seja nulo. Neste caso 0<q<pi=3,1416...

Exercício: Faça uma análise quando q=0, q=pi/2 e q=pi. Determine o ângulo entre os vetores v=(1,0) e w=(1,1). Nunca se esqueça de construir gráficos com esses objetos vetoriais.

Vetores ortogonais
Dois vetores v e w são ortogonais se:
v.w = 0

Exercício: Dado o vetor v=(3,7), obtenha pelo menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a v. Construa geometricamente estes vetores.

Vetores paralelos
Dois vetores v e w são paralelos se existe uma constante real k diferente de zero, tal que:
v = k w

Exercício: Obter pelo menos dois vetores do plano que sejam paralelos ao vetor v=(3,7). Construa geometricamente estes vetores.

Exercícios de áreas poligonais
Geometria Plana: Exercícios de áreas de regiões poligonais
Notações: R[x]=raiz quadrada de x>0, cm²=centímetro quadrado.



  1. Por dois modos distintos, mostrar como pode ser decomposta cada uma das regiões poligonais em triângulos.
  2. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?
  3. A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados?
  4. É possível obter a área de um paralelogramo, se conhecemos apenas as medidas de seus lados?
  5. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm?
  6. Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm?
  7. Calcular a área de cada quadrilátero indicado abaixo:
    1. Quadrado com lado medindo 5/3 cm.
    2. Quadrado com perímetro 12cm.
    3. Retângulo com comprimento 3cm e perímetro 10cm.
    4. Quadrado com perímetro 12R[3]cm.

  8. Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm?
  9. Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a área é igual a 80 cm², quais são as medidas de seus lados?
  10. Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida de um dos lados. Que mudança deveremos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante?
    1. A base é multiplicada por 3;
    2. A altura é dividida por 2;
    3. A base é aumentada 25%;
    4. A base é diminuída 25%.

  11. Calcular a área de um retângulo cujo lado mede s e a diagonal mede d.
  12. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 30 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a.
  13. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 45 graus. Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a.
  14. Obter a área de um paralelogramo conhecendo-se o ângulo Â=30 graus e cada um dos dados abaixo:
    1. AD = 4 R[3] cm e AB = 8 cm
    2. AX = 3 cm e AB = 4 R[2] cm
    3. AB = 10 cm e AD = 6 cm
    4. AB = 6 cm e AX= 3 R[3] cm

  15. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 7 metros, qual é a área frontal desta casa?
  16. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se a diagonal do quadrado mede 2R[2] m, calcular a área frontal desta casa.
  17. O lado de um triângulo equilátero T1 mede 10 cm. Qual deve ser a medida do lado de um outro triângulo equilátero T2 que possui o:
    1. dobro da área de T1?
    2. triplo da área de T1?
    3. quádruplo da área de T1?

  18. Os números em cada linha na tabela abaixo, referem-se às medidas de um triângulo, onde são conhecidas duas informações dentre: Base, Altura e Área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.
    Base (cm)Altura (cm)Área (cm²)
    (a)510
    (b)512
    (c)2R[3]3R[3]
    (d)612
  19. Os números em cada linha na tabela abaixo referem-se às medidas de um trapézio, onde b1 e b2 são as bases, h é a altura e A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.
    b1 (cm)b2 (cm)h (cm)A (cm²)
    (a)1064
    (b)5324
    (c)5312
    (d)1/21/31
    (e)5R[2]3R[2]4R[6]
  20. Calcular a medida do lado de um triângulo equilátero com a área igual a 9 R[3] unidades de área.
  21. Um fazendeiro possuía um terreno no formato de um triângulo equilátero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma área triangular isósceles cuja base mede 4 Km, de acordo com a figura, em anexo. Qual era a área que o fazendeiro possuía e qual é a nova área?
  22. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência está no interior do trapézio.
  23. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o centro da circunferência não está no interior do trapézio.
  24. Calcular a área do trapézio isósceles, cujo desenho está na figura ao lado, se todos os seus lados são tangentes à circunferência e as medidas são dadas em cm.

  25. No plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontos A=(-3,-2), B=(6,-2), C=(10,3) e D=(1,3). Determinar a área do paralelogramo ABCD.
  26. Na figura representando o triângulo PQR, o segmento TS é paralelo ao segmento PQ. Calcular a razão entre a área do triângulo RTS e a área do trapézio PQST, sob as seguintes condições:
    1. RT=1 cm, RP=2 cm
    2. RT=2 cm, TP=3 cm
    3. TS=2 cm, PQ=3 cm
    4. TS=R[3] cm, PQ=2 cm

    Dica: Obter a razão entre as áreas dos triângulos PQR e TSR.

  27. Calcular a área de um triângulo equilátero cujas medidas são dadas por:
    1. Lado = 6 cm
    2. Apótema = 3 cm
    3. Raio = 6 cm
    4. Perímetro de medida t cm

  28. Calcular a área de um hexágono regular cujas medidas são dadas por:
    1. Lado = 4 cm
    2. Apótema = 2R[3] cm
    3. Raio = 6 cm
    4. Perímetro = t cm

  29. ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB)=15 cm e m(BC)=9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC?

  30. Pesquise a origem e o significado para cada uma das palavras que são usadas em Geometria:
    1. apótema
    2. hipotenusa
    3. cateto
    4. abscissa
    5. ordenada
    6. afastamento
    7. cota
  31. Os números em cada linha da tabela abaixo referem-se às medidas do polígono regular indicado, onde L é o lado, a é o apótema, p é o perímetro e A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.
    1 L (cm)a (cm)p (cm)A (cm²)
    Triângulo2 R[3]
    Pentágonok4
    Hexágonok
    octógonotk
    Decágono4040k
  32. Os lados correspondentes de dois pentágonos semelhantes estão na razão 1:2. Qual é a razão entre as suas áreas? Qual é a razão entre os seus perímetros?
  33. Dois hexágonos semelhantes possuem áreas iguais a 36 cm² e 64 cm², respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada hexágono)?
  34. Dois pentágonos semelhantes possuem áreas iguais a 50 cm² e 100 cm², respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada pentágono)?
  35. No triângulo ABC, desenhado ao lado, AB mede 5 cm e altura CD mede 8 cm. Qual deverá ser a medida do lado de um quadrado com área igual à área do triângulo ABC?
  36. A área de um polígono de n lados é 25/4 da área de um outro polígono semelhante com n lados. Qual é a razão entre os perímetros dos dois polígonos?
  37. Os pontos X, Y e Z são os pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Qual é a razão entre a área do triângulo ABC e do triângulo XYZ?
  38. O lado menor de um polígono de área igual a 196 cm² mede 4 cm. Calcular a área de um polígono semelhante a este que tem o lado menor medindo 8 cm.
  39. Os lados de um quadrilátero medem 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6 cm. Calcular as medidas dos lados de um quadrilátero semelhante a este com área 9 vezes maior.
  40. Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos equiláteros, sabendo-se que um deles está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma circunferência?
  41. Na figura ao lado D e E são, respectivamente, os pontos médios dos lados do triângulo AC e BC. Qual é a razão entre as áreas dos triângulos DEC e ABC?
  42. Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferência de raio r e o outro em uma circunferência de mesmo raio. Qual é a relação existente entre suas áreas?
  43. Um hexágono regular é inscrito em uma circunferência de raio r e um segundo hexágono regular é circunscrito na mesma circunferência. Se a soma das áreas dos dois hexágonos é 56 R[3] u.a, qual é o raio da circunferência?
  44. O quadrilátero ABCD é um retângulo e os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro partes iguais. Qual é a razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo?
  45. O retângulo ABCD tem área 105 m². Qual a medida do lado do quadrado EFGC?
  46. De um quadrado cujo lado mede 8 cm, são recortados triângulos retângulos isósceles nos quatro cantos de modo que o octógono formado seja regular como mostra a figura ao lado. Qual é a medida do lado do octógono?


Exercícios de área de regiões circulares
Geometria Plana: Exercícios resolvidos de áreas de regiões circulares
R[x]=raiz quadrada de x>0, pi=3,1415926535..., u.a.=unidade de área, m(AB)=medida do segmento AB e m (ABC)=medida do ângulo ABC.


  1. Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a:
    a.r=5cm   b.r=3,5cm   c.r=3kcm   d.r=a/2cm
    
  2. Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?
  3. Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros.
  4. Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: (a) O raio da circunferência inscrita neste quadrado. e (b) O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
  5. No R², uma circunferência tem centro no ponto (2,1) e passa pelo ponto (5,-3). Qual é o comprimento da circunferência?
  6. Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio r ou o diâmetro d.
    a.r=3cm  b.d=3kR[2]cm  c.r=2R[3]cm  d.d=9cm
    
  7. Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.
  8. Se os perímetros de dois círculos são proporcionais à razão 2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos?
  9. Qual é a área do círculo circunscrito em um triângulo equilátero cujo lado mede 18 cm?
  10. Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é a área do círculo menor se a área do círculo maior é 27pi cm²?
  11. Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda?
  12. Um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm está inscrito em uma circunferência. Calcular a área da região externa ao triângulo que está dentro da circunferência.
  13. Mostre que no hexágono regular o raio e o lado são congruentes, isto é, têm a mesma medida.
  14. Considere um hexágono regular cuja área é 48R[3]cm². Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.
  15. Dado um hexágono regular com área 48k²R[3]cm². Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.
  16. As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Qual é a área do círculo inscrito neste losango?
  17. Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor circular se o raio da circunferência mede 12cm e o arco 60 graus.

  18. Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular: (a) A área do setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus e (b) A área do segmento circular cujo arco A mede 120 graus.

  19. Seja um triângulo equilátero cujo lado mede 2a. Ao traçar arcos de circunferências de raio a, centrados nos três vértices do triângulo, obtemos a região colorida como a da figura ao lado. Calcular a área desta região.

  20. Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos uma semicircunferência de acordo com a figura ao lado. Mostre que a soma das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a área do triângulo.

  21. Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado cujo lado mede 10 cm. Calcular a área das quatro pétalas pintadas na figura ao lado.

  22. Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um quadrado cujo lado mede 6 cm. Calcular a área da região pintada na figura ao lado.

  23. Dois círculos cujos raios medem 4 cm e 12 cm, estão lado a lado, como mostra a figura. Qual é a medida da menor correia de couro que contorna os dois círculos?

  24. Duas circunferências de centros O e O' têm raios medindo 3 cm e 2 cm, respectivamente, e a medida m(OO')=13 cm. Se a reta t é uma tangente comum às duas circunferências nos pontos A e B, calcular a medida do segmento AB.

Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada semicírculo possui o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamente maior.


Fonte:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geometria.htm